別被這本書的標題嚇到,很多人看到數學就害怕,會聯想到過去學數學時一堆的公式與計算,討厭死了!等你長大後,會發現日常生活中好像很少會用到數學,進而你會做一個推論,數學一點都沒有用!是這樣嗎?會有這樣的誤解,純粹是數學教育失敗所造成的!不信你可以翻翻這本書,沒有想像中的無聊難懂,相當的有趣,號稱是數學界的蘋果橘子經濟學(這本經濟學的書很好看)!

 

先提一下跟財經有關的部份,大家可能比較有興趣往下看。應該知道川普許多不靠譜的政策其中之一是減稅政策吧!這政策來自雷根時代的供給經濟學,其中心思想為拉佛 (Laffer) 曲線。稅率到底是越高越好?還是越低越好呢?社會主義與高福利的國家,希望以高稅收來營造均富的社會,而低稅率的國家希望激發民間逐利的動機,促使國家經濟不斷發展。在此就不爭辯哪個主義思想比較好(都比不上三民主義偉大啦,可以害我沒上更好的大學科系),只是凡事都要往兩個極端走嗎?這就是所謂的直線思考,如果兩者關係非直線,是不是會得到一個最佳平衡點?據說拉佛(Laffer)與副總統在飯店討論稅務問題時,拿餐巾畫下這個圖:

拉佛曲線.jpg

這圖很寫實吧!在餐巾上畫的也不會很漂亮!

 

這圖很明顯表達一件事,太高或太低的稅率都不好,剛剛好最好!但問題來了,剛剛好的稅率A到底是多少?20%?還是30%?那現在稅率所處的位置在於過低的B,或是太高的C?供給面經濟學強調稅率降低會使得企業獲利大幅增加,反而可以增加稅收,但若無法證明目前處的狀態是B,川普的減稅將會有反效果,使得財富分配更不平均。事實上,雷根經濟學是失敗的,稅收是減少的!

 

機率問題在日常生活會常用到,只是大多數人都很難弄清楚。簽樂透時你應該不會選123456這六組數字或跟上期一模一樣的數字吧!但實際上它跟中獎號碼出現的機率是一樣的。有人認為許多投資大師的成功是運氣使然,就好像丟銅板,有人就是可以連續丟到十次正面。不知大家有沒有聽過一個故事,xx投顧寄信跟你說某檔股票會跌,下週說某檔股票會漲,連續10週,有人會發現這人真是神準,居然全部預測成功!因而繳高額的會費當他的終身會員。但他只要寄出1024封信,其中有一人必定會收到全中的預測信。1/2*1/2*……1/2,相乘十次的結果就是1/1024,在email的時代,寄個102400封信也花不了多少錢,但你至少會收到100位忠實會員!以前我在念研究所的時候,很愛看投顧節目,我就發現某個投顧有兩位老師,一個喊多,一個一定會喊空!根據書上所說,基金公司也有這樣的策略,同時間養一堆不同投資策略的基金,表現優異的就會公開上市,並說他過去倒流測試的績效有多棒,至於表現不佳的基金就會被安樂死。那這基金過去表現優異是真的策略厲害?還是運氣好而已?難怪有句話大家都會背,過去的績效不代表未來!

 

有研究指出,某段時間基金的績效超越大盤,但後來有研究來打臉,因為抽樣少了那些因績效不佳而被清算下市的基金,這叫存在者偏誤,所以你看到世上有許多的投資大師,以為投資很容易成功,不知道其實有更多的投資大輸啊!抽樣偏誤是研究上一大麻煩,因此很多民調根本就不太可信,尤其去年的脫歐,美國總統大選的民調,害慘了許多投資人!像現在台灣的民調若都是打室內電話,那就會有很大的抽樣偏誤!書上寫的有關於統計觀念的例子,我簡單做個結論,學術上很多統計上的結果都不太可信的,什麼吃xx會強壯,做xx會很快掛掉之類的,很多犯了抽樣問題,因果謬誤等,甚至統計過程本身就弄錯了(尤其看到是非著名的期刊,有些感覺很荒謬的研究結果,千萬不可信,偏偏這些研究台灣的媒體最愛報!)

 

若寫過實證性論文的人,看到P值那段的文章,應該都會笑出來,你都會祈禱研究結果的P值要小於0.05,這代表你研究的東西是有顯著性,這樣才比較有辦法登上期刊,而有人做了統計,發現許多的研究P值恰巧都在0.05附近,比例高到嚇人,可以推測一件事,萬一你很辛苦做研究,結果跑完數據出來的結果是0.053好了,你有沒有動機去又搓又揉又搥又打般的刑求數據(作者的用詞,有趣!)?刑求方法很多啦,故意忽略掉某幾張問卷,或是把某些數據當做極端值省略掉,就可以有很漂亮的數據出來。所以台灣學術界有很多醜聞也不令人意外,因為在大學裡,研究就是一切,教學教再好也沒用,頂多是優良教師的獎狀!

 

不過太相信數學也會發生錯誤,例如金融風暴中,一堆用數學弄出來的,看似低風險的產品出現了大問題,金融界喜歡算風險值VaR,他可以估算出來,未來一天內,目前持有的部位賠錢一億美元的機率為1%,代表99%的機率不會賠掉一億,看到這樣的機率,你會安心嗎?這樣的估算基本上有兩個問題,就是看似不可能發生的事件,卻發生了,所造成的損失你能承受嗎?舉例來說,有千分之一的機率會賠掉一千萬,有99.9%機率會賺十萬,這樣的投資你會做嗎?算出來的期望值接近9萬,理論上你應該要投資的,但萬一真的發生看起來不可能發生的事,你要傾家蕩產,你能承受嗎?再來,估算風險的統計模型背後的假設是常態分配,但實際上卻低估了尾端風險發生的機率(統計名詞叫厚尾)。可是人會莫名相信數學與很複雜的公式,還得用電腦才能算出來的東西,連土豆也要用電腦選(好老的梗),卻忽視了所謂黑天鵝事件所帶來的毀滅性損失的風險。財金唸到後面根本都是在看一大堆的數學公式推導,但我都認為只要基本假設有問題,這些推導出來的模型根本就跟垃圾沒兩樣。最簡單的假設,你認為人是理性的嗎?若不是,一堆經濟與投資理論都得要重寫!

 

這本書還有許多有趣的推論,告訴你學數學大有用處,不過越後面越難,要有點統計基礎,才容易看得懂,尤其是下冊,若你有相關背景的,看這本書應該會覺得很有趣!最後聊聊我的感想,雖然我從小數學的成績都不賴,但現在才發現我的數學成績根本就來自於反覆的練習而來,就公式背一背,多練習一些題型,自然就有不錯的成績。但我真正懂嗎?並沒有。書中提到一個例子,為何8X7=7X8?你有想過交換率怎麼來的?還是就直接背下來?再問一個,為何負負會得正?我也想不出比較好的解釋方法,期待有數學專長的網友能夠幫忙解釋一下。數學應該是要訓練解決問題的能力,學習數學家如何思考去突破難題。你知道圓周率=3.14159……是如何推算出來的嗎?從此又可以推論微積分中極限的觀念。曾經教過一學期大一微積分的課,花了好長時間鋪陳學數學的重要性,光微分的基本觀念就講好久,為何微分就是在算切線斜率,我用了本書中所提到的概念,把曲線無限無限的放大,其中的一小段就算讓人感覺是直線,這也是古代人認為地球是平的原因,強烈建議NBA球星厄文(Irving)好好讀一下這本書,不是什麼事眼睛看到的就是真相。只是我教得很挫折,因為大部分學生還是只會背公式來計算,我考觀念題幾乎都不會,從小根深蒂固的觀念要扭轉,還是很難,就像我上課時希望學生多思考,多發言,能做到的還是少數!

 

台灣的教育讓小孩子太早就放棄數學,這真的是件很可惜的事,不過家長的觀念也是個大問題,明明建構式教學是個很好的訓練小孩邏輯思考的教學法,卻被嫌這樣算太慢,容易算錯,還是背公式比較快,家長不配合,還罵學校亂教,明明就自己跟不上時代,還影響了下一代的教育!台灣的教育問題很多,但家長過時的觀念絕對是個最大的問題!例如現在大家都在喊要重視技職教育,但有多少家長願意讓小孩在國高中時候就開始從工作中學習呢?我在大學教書看到太多人是來學校浪費時間,多數念大學只是為了要符合家長的期望吧!

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